Symulator demograficzny

Populacja jest prowadzona w 101 rocznikach wieku (0–100+) osobno dla każdej płci, w rocznych krokach od stanu wyjściowego GUS (31 XII 2023, zdezagregowanego do roczników; lata 2024–2025 odtworzone historycznym TFR i migracją, kalibracja do 37 436 tys. osób na koniec 2025 r.). Formalnie jest to rzut macierzą Lesliego (1945):

N(t+1) = L · N(t) + G(t)

gdzie subdiagonala L zawiera prawdopodobieństwa przeżycia 1−q(x), pierwszy wiersz — składniki płodności, a G(t) to wektor migracji netto.

Leslie (1945) Biometrika; Preston, Heuveline i Guillot (2001) Demography, rozdz. 6.

Urodzenia

B(t) = Σₓ ASFR(x,t) · K(x,t)

K(x,t) — kobiety w wieku x. Podział płci noworodków 105:100. Kształt ASFR z danych GUS 2023 (szczyt 27–33 lata, średni wiek rodzenia 29,8), skalowany proporcjonalnie do docelowego TFR i przesuwany wzdłuż osi wieku — uproszczenie parametryzacji Schmertmanna (2003).

Po roku osiągnięcia celu TFR ewoluuje endogenicznie:

ΔTFR = dryf/10 + s·0,01·(TFR−1,5)·[TFR<1,5] + ΔG_rodz

— dryf długookresowy, sprzężenie pułapki niskiej dzietności o sile s (Lutz i in. 2006) oraz bieżące zmiany efektu polityki rodzinnej. Ograniczenia: 0,6 ≤ TFR ≤ 3,2.

Uwaga o tempie: suwak zadaje TFR przekrojowy, więc przesunięcie wieku macierzyństwa działa przez długość pokolenia T — populacja zmienia się ~NRR^(lata/T); przy dzietności poniżej zastępowalności późniejsze macierzyństwo spowalnia spadek, przy wzroście — spowalnia wzrost.

Umieralność

m(x) = A + B·e^(Cx) m(x,t) = m(x)·e^(−r·(t−2024))

Gompertz–Makeham kalibrowany bisekcją do e₀ z GUS 2024 (74,9/82,2); tempo poprawy r dobierane tak, by osiągnąć zadane e₀ w 2100 r. — model Lee–Cartera (1992) z jednorodnym b(x).

Migracja

Saldo roczne (imigracja − emigracja) wg profilu Rogersa–Castro (1981): komponent dziecięcy + pik zarobkowy ok. 27 lat. Imigranci jako odrębna subpopulacja: umieralność krajowa, dzietność = ASFR × mnożnik (Sobotka 2008); dzieci migrantek wchodzą do populacji krajowej (konwergencja w 2. pokoleniu). Saldo ujemne ubywa z populacji krajowej.

Klasyczne

OADR = pop(65+) / pop(15–64)

oraz relacja wsparcia pracujący/emeryci z faktycznych granic wieku emerytalnego i wskaźnika zatrudnienia.

Prospektywne (Sanderson–Scherbov 2005, „Nature")

Próg starości to wiek, w którym dalsze oczekiwane trwanie życia spada do 15 lat. Gdy żyjemy dłużej, próg się przesuwa — starzenie mierzone prospektywnie jest wolniejsze niż chronologicznie (RYC. 6).

Momentum demograficzne (Keyfitz 1971)

M ≈ b·e₀ / √NRR

(przybliżenie Frauenthala 1975). M < 1: nawet natychmiastowy powrót dzietności do zastępowalności nie zatrzyma spadku — spadek jest „wbudowany" w strukturę wieku.

Równowaga repartycyjna

c · w · L = p · P

(Samuelson 1958; Aaron 1966). Stopa zastąpienia możliwa ze składki: RR = c · (L/P). Gdy L/P spada z 1,7 do <1, system musi obniżyć świadczenia, podnieść składkę albo wiek emerytalny.

Formuła NDC (reforma 1999)

emerytura = kapitał składkowy / e(wiek przejścia)

Nowe świadczenie = składka 19,52% × staż (od 23 r.ż.) × współczynnik luk 0,78 × dryf indeksacji, podzielone przez dalsze trwanie życia. Wydłużanie życia automatycznie obniża świadczenie — stabilizator, którego ceną jest adekwatność. Przeciętna stopa zastąpienia wygasza się ku NDC w tempie wymiany pokoleń; podłoga 25% = gwarancja emerytury minimalnej.

Luka finansowa

luka = RR·(P/L)·u − c·u − κ

u = udział funduszu płac w PKB (41%); κ — klin niemodelowanych składników FUS — liczony raz, ze scenariusza referencyjnego (deficyt 2025 = 2,2% PKB wg ZUS) i niezależny od suwaków, więc scenariusze są porównywalne. Podniesienie wieku emerytalnego jako jedyna dźwignia poprawia jednocześnie bilans i adekwatność.

Gospodarka

PKB(t) = L(t) · (1+g)^t

Backtest 1999→2025

Model startuje ze struktury wieku 1.01.1999 (Eurostat) i jest prowadzony WYŁĄCZNIE obserwowanymi wejściami: TFR (GUS), e₀ obu płci rok po roku (Eurostat — w tym dołek COVID 2020–21), salda migracji z korektami spisowymi NSP 2002/2021 (Eurostat CNMIGRAT), średni wiek rodzenia (GUS, interpolowany). Żaden parametr nie jest dopasowywany do wyniku. RYC. 15–16 pokazują trafność; miary błędu poniżej wykresów.

Monte Carlo

TFRᵗ = scenariusz + δᵗ, δᵗ = 0,9·δᵗ⁻¹ + ε, ε~N(0; 0,055)

σ z reszt AR(1) na TFR PL 1999–2025. Migracja: N(0; 30 tys.) + skoki kryzysowe (P=5%/rok, ±150–300 tys. — epizody 2015/2022). Umieralność: losowy dryf indeksu k jak w Lee–Carterze (1992). Wachlarze 50% i 90% (kwantyle z 100–1000 przebiegów, seed deterministyczny — wyniki odtwarzalne). Mediana MC ≈ przebieg deterministyczny (test automatyczny).

Por. probabilistyczne prognozy ONZ WPP (od 2014); Lutz, Butz i KC (2014) IIASA/Wittgenstein.

Demografia wielowymiarowa (Lutz, Butz i KC 2014)

Stan modelu: pochodzenie {krajowe, 1. pokolenie, 2. pokolenie} × wykształcenie {wyższe, średnie, zasadnicze-} × płeć × wiek. Wykształcenie przypisywane rocznikowi w wieku 20 lat wg udziałów kohortowych (Eurostat; suwak ekspansji dla kohort 2010+). Różnice: umieralność (M ×0,62/1/1,45; K ×0,78/1/1,28), dzietność (×0,88/1,02/1,18), zatrudnienie (93/80/52%), produktywność (×1,45/1/0,65).

m(x,e) = m_agg(x) · mult_e / Σ udział(x,e′)·mult_e′

Kluczowy zabieg: różnice są renormalizowane per wiek, więc zagregowane e₀ i TFR pozostają dokładnie na ścieżce scenariusza — zmiana struktury wykształcenia działa przez kompozycję (więcej wyższego → wyższe zatrudnienie i produktywność → PKB i baza składkowa), nie przez podwójne liczenie poprawy zdrowia.

Migracja strukturalna i pokolenia

Tryb strukturalny: napływ (profil Rogers–Castro, selektywność edukacyjna suwakiem) i odpływ (z populacji krajowej, ograniczony zasobem — emigracja wygasa wraz z wyludnieniem) liczone osobno. Dzieci 1. pokolenia → 2. pokolenie (dzietność: połowa różnicy — konwergencja, Sobotka 2008); dzieci 2. pokolenia → ludność krajowa. Sprzężenie eksperymentalne (domyślnie wyłączone): odpływ młodych +4% na każdy 1 p.p. PKB luki emerytalnej (proxy klina podatkowego).

NTA (Lee i Mason 2011)

Każdy wiek ma profil: dochodu z pracy yl(x) (garb, pik 40–49), konsumpcji c(x) (wzrost po 75), wydatków edukacyjnych (3–24) i zdrowotnych (krzywa J). Mnożąc profile przez strukturę wieku dostajemy bilans całego sektora finansów publicznych rok po roku — nie tylko emerytur. Kalibracja 2025: edukacja 4,6% PKB, zdrowie 6,5%, świadczenia emerytalno-rentowe ≈12,8% (z modelu), pozostałe 22%, saldo −5,8% PKB. Dynamika: koszt na ucznia/pacjenta rośnie z płacami (efekt Baumola), więc udział w PKB zależy od relacji liczebności grupy do liczby pracujących.

FSR = Σ yl(x)·N(x) / Σ c(x)·N(x)

— fiscal support ratio (producenci/konsumenci); spadek o 1% ≈ konieczność podniesienia podatków lub cięcia transferów o 1% (Lee i Mason).

Konta pokoleniowe (Auerbach, Gokhale i Kotlikoff 1991, uproszczone)

Dla rocznika urodzenia: wartość bieżąca netto (podatki − transfery) na osobę od 2025 do końca życia, ważona przeżyciem, dyskonto 1,5% ponad wzrost płac, w krotnościach rocznej przeciętnej płacy. RYC. 20 pokazuje, kto „płaci za przejście": maksimum obciążenia przypada na roczniki ~1990–2010.

Zdrowie: metoda Sullivana (1971)

HLY = Σ L(x)·(1−d(x))

d(x) — odsetek niesamodzielnych (logistyczny, stylizowany wg SHARE). Suwak „kompresja chorobowości" rozstrzyga spór Friesa (1980 — dodane lata są zdrowe, próg d(x) przesuwa się z e₀) z Gruenbergiem (1977 — „failure of success", dodane lata są chore). Od tego zależy, czy długowieczność jest triumfem, czy tsunami opiekuńczym (RYC. 22–24).

Gdzie model stoi ideowo

Rdzeń emerytalny to ekonomia głównego nurtu (Samuelson 1958, Aaron 1966; NDC w stylu szwedzkim). Na ten rdzeń nałożono dwie warstwy heterodoksyjne/progresywne:

A · Dzietność jako funkcja państwa opiekuńczego

TFR(t) = TFR_bazowy(t) + min(0,45; 0,12 · ΔG_rodz)

Metaanalizy (Gauthier 2007; Luci-Greulich i Thévenon 2013): umiarkowany, realny wpływ — najsilniejszy dla usług (żłobki), nie transferów. McDonald (2000): dzietność spada, gdy kobiety mają równość w pracy, ale nie w rodzinie; Esping-Andersen (2009): defamilializacja opieki. Efekt z dekadowym opóźnieniem.

B · Finanse funkcjonalne i MMT

Z perspektywy MMT (Lerner 1943; Kelton 2020) państwo emitujące własną walutę nie może „zbankrutować" w złotych — księgowa luka FUS nie jest ograniczeniem samym w sobie. Twarde ograniczenie jest realne (RYC. 14): jaki procent bieżącej produkcji pracujących konsumują emeryci. To samo mówi głównonurtowy Barr (2002): „output is central". Wniosek obu szkół zbieżny: zamiast „skąd wziąć pieniądze", pytaj „kto wytworzy dobra i usługi".

· Umieralność imigrantów zrównana z krajową; obecny zasób cudzoziemców (≈2025) wliczony do populacji krajowej — subpopulacja zagraniczna liczy napływ od 2024.
· Moduł emerytalny stylizowany: pomija renty, KRUS, mundurowe; poziomy kalibrowane do prognozy FUS.
· Sprzężenia zwrotne ograniczone do pułapki dzietności (brak np. wpływu podatków na emigrację — Fala III).
· Jednorodny przestrzennie — regiony peryferyjne starzeją się szybciej niż średnia.
· Niepewność MC obejmuje TFR, migrację i umieralność; nie obejmuje niepewności parametrów strukturalnych (np. siły pułapki) — te eksploruje się suwakami.